Regla de la Cadena Formula:
La derivada regla de la cadena formula es una fórmula fundamental en cálculo que se utiliza para calcular la derivada de una función compuesta. Cuando se trata de funciones de múltiples variables, la regla de la cadena puede volverse compleja, pero esencialmente nos permite diferenciar una función con respecto a una variable.
La formula de la cadena se utiliza para encontrar las derivadas de funciones compuestas como (x2 + 1)3, (sin 2x), (ln 5x), e2x y así sucesivamente. Si y = f(g(x)), entonces y' = f'(g(x)). g'(x).
Aprendamos más sobre la formula regla de la cadena derivadas y los pasos seguidos para encontrar las derivadas usando la regla de la cadena.
¿Qué es la regla de la cadena?
La regla de la cadena también se conoce como regla de afuera-adentro o regla de función compuesta o regla de función de una función. Se utiliza únicamente para encontrar las derivadas de funciones compuestas.
La regla de la cadena establece que la tasa de cambio instantánea de f con respecto a g con respecto a x nos ayuda a calcular la tasa de cambio instantánea de f con respecto a x.
El teorema de la regla de la cadena: Sea f una función de valor real compuesta de dos funciones g y h. es decir, f = g o h. Supongamos que u = h(x), donde existen du/dx y dg/du, entonces esto podría expresarse como:
$$ change\; in\; \frac{f}{change\; in\; x} \;=\; \frac{\frac{change\; in\; g}{change\; in\; u \times change in u}}{change\; in\; x} $$
Esto se da como notación de Leibniz en forma de ecuación como,
$$ \frac{df}{dx} \;=\; \frac{dg}{du} . \frac{du}{dx} $$
Pasos de la Regla de la Cadena:
Aquí hay algunos pasos que debes seguir para encontrar la regla de la cadena de una función con una explicación paso a paso:
- Paso 1: Identificar la regla de la cadena: la función debe ser una función compuesta, lo que significa que una función está fija sobre la otra.
- Paso 2: Identificar la función interna y la función externa.
- Paso 3: Encuentra la derivada de la función externa, dejando la función interna.
- Paso 4: Encuentra la derivada de la función interna.
- Paso 5: multiplica los resultados del paso 4 y del paso 5.
- Paso 6: simplifica la derivada de la regla de la cadena.
Por ejemplo: Considere una función: g(x) = ln(sen x),
- g es una función compuesta. Entonces aplica la regla de la cadena.
- sin x es la función interna y ln(x) es la función externa.
- La derivada de la función externa es 1/sen x.
- La derivada de la función interna es cos x.
- Finalmente g'(x) = derivada de la función exterior, dejando la interior sola × la derivada de la función interior = 1/sen x × cos x
- Simplificando obtenemos, cos x/sen x = cot x
Formula de la Cadena y Prueba
La regla de la cadena fórmula proporciona un enfoque estructurado para analizar funciones complejas, simplificar su estudio y mejorar nuestra comprensión de su comportamiento. Hay dos formas de regla de la cadena derivadas formula, como se muestra a continuación.
Formula Regla de la Cadena Derivadas 1:
$$ \frac{d}{dx} ( f(g(x) ) \;=\; f’(g(x) ) . g’(x) $$
Ejemplo: Para encontrar la derivada de d/dx (sin 2x), expresa sin 2x = f(g(x)), donde f(x) = sin x y g(x) = 2x.
Luego, mediante la formula de la regla de la cadena para derivar,
$$ \frac{d}{dx} (sin 2x) \;=\; cos\; 2x · 2 \;=\; 2 \;cos\; 2x $$
Regla de la Cadena Derivadas Formula 2:
Podemos asumir la expresión que es reemplazar "x" por "u" y aplicar la derivada regla de la cadena formula.
$$ \frac{dy}{dx} \;=\; \frac{dy}{du} · \frac{du}{dx} $$
Ejemplo: para encontrar d/dx (sen 2x), suponga que y = sin 2x y 2x = u. Entonces y = sen u.
Por la formula de regla de la cadena,
$$ \frac{d}{dx} (sin 2x) \;=\; \frac{d}{du} (sin u) · \frac{d}{dx}(2x) \;=\; cos\; u · 2 \;=\; 2\; cos\; u \;=\; 2\; cos\; 2x $$
Prueba de la Fórmula de la Regla de la Cadena:
Si,
$$ y \;=\; f(g(x)) \;=\; (fog)x, \;then\; \frac{d}{dx} ((f(g(x)) \;=\; f'(g(x))g'(x) $$
Prueba: Ahora Δu = g(x+Δx) -g(x)
Por lo tanto,
$$ \frac{Δy}{Δx} \;=\; \frac{Δy}{Δu} × \frac{Δu}{Δx} $$
$$ \frac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} \times \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} $$
Como Δx → 0, Δu → 0
De este modo,
$$ \lim_{Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
$$ =\;\lim_{Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta u} \times \frac{\Delta y}{\Delta ux} \right) $$
$$ =\; \lim_{Delta x \to 0} \frac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} \times \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} $$
$$ =\; f’(u) \times u’(x) $$
$$f’(g(x)) g’(x) $$
Regla de la Doble Cadena:
Podrían haber funciones fijas unas sobre otras, donde las funciones dependen de más de una variable. La cadena de derivadas más pequeñas se multiplica para obtener la derivada general.
Sean 3 funciones: u, v, w. Una función f es una combinación de u, v y w. La regla de la cadena se amplía aquí. Si una función es una composición de 3 funciones, aplicamos la formula de la cadena dos veces. Cuando
$$ f \;=\; (u\; o\; v)\; o\; w \;=\; \frac{df}{dx} \;=\; \frac{df}{du} . \frac{du}{dv} . \frac{dv}{dw} . \frac{dw}{dx} $$
Ejemplo 1:
$$ y \;=\; (1+ cos 2x)^2 $$
$$ y' \;=\; 2( 1+ cos 2x) . (-sin 2x). (2) $$
$$ =\; - 4(1+ cos 2x) . sin2x $$
Ejemplo 2: y = sin (cos (x2))
$$ y' \;=\; cos(cos (x^2)). -sin (x^2)). 2x $$
$$ =\; -2x sin (x^2) cos (cos x^2) $$
Nota: No es necesario que recordemos la regla de la cadena fórmula. En su lugar, podemos simplemente aplicar las fórmulas derivadas (que están en términos de x) y luego multiplicar el resultado por la derivada de la expresión que reemplaza a x.
Por ejemplo, d/dx ( (x2+ 1)3) = 3 (x2 + 1)2 · d/dx (x2 + 1) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2.
Aplicaciones de la Regla de la Cadena
Esta regla de la cadena tiene amplias aplicaciones en los campos de la física, la química y la ingeniería. Aplicamos la regla de la cadena:
- Para encontrar la tasa de cambio de presión en el tiempo,
- Para calcular la tasa de cambio de distancia entre dos objetos en movimiento,
- Para encontrar la posición de un objeto que se mueve hacia la derecha y hacia la izquierda en un intervalo particular,
- Para determinar si una función es creciente o decreciente,
- Para encontrar la tasa de cambio de la velocidad molecular promedio,
Apliquemos la regla de la cadena para encontrar la ecuación de la recta tangente a la función dada,
$$ y \;=\; (5 x^4 - 2)^3 \;at\; x \;=\; 1 $$
Sabemos que la derivada de la función da la pendiente de la recta en el punto dado,
$$ y' \;=\; 3 (5 x^4 - 2)^2 × 20 x^3 $$
$$ =\; 60 x^3 (5 x^4 - 2)^2 $$
y' en x =1 da 60(3)2 = 540
Necesitamos evaluar la función y la derivada en el punto dado.
$$ y \;=\; ((5 (1)^4 - 2)^3 \;=\; 3^3 \;=\; 27 $$
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en la forma pendiente-intersección es y = mx+ b ⇒ 27 = 540x + b. Necesitamos encontrar la ecuación de la recta tangente. Por lo tanto sustituimos (1,27) en la ecuación de la recta tangente, y = 540x + b, obtenemos
$$ 27 \;=\; 540(1) + \;b ⇒ b \;=\; -513 $$
Así, la ecuación de la recta tangente a la función dada y = (5 x4 -2)3 aplicando la formula regla de la cadena derivadas es y = 540x - 513.
