Formula de Euler:
La formula d'euler fue propuesta por Leonhard Euler, un matemático suizo. La euler formulas, en su forma más famosa, relaciona exponenciales complejas con funciones trigonométricas. Existen dos tipos de formula de euler:
Para análisis complejo: es una fórmula clave que se utiliza para resolver funciones exponenciales complejas. La fórmula de euler también se conoce como identidad de Euler. Se utiliza para establecer la relación entre funciones trigonométricas y funciones exponenciales complejas.
Para poliedros: Para cualquier poliedro que no se interseca consigo mismo, el número de caras, vértices y aristas está relacionado de una manera particular, y eso está dado por la euler formula o también conocida como característica de Euler.
Aprendamos estas fórmulas junto con algunos ejemplos resueltos.
¿Qué es la Formula Euler?
A continuación se presentan dos formula de euler diferentes que se utilizan en diferentes contextos.
Formula euler para análisis complejo: eix = cos x + i sen x
Formulas euler para poliedros: caras + vértices - aristas = 2
La fórmula muestra cómo se pueden representar funciones exponenciales con exponentes imaginarios utilizando las funciones seno y coseno, que son fundamentales en trigonometría. La identidad de Euler es un caso especial de la formula de euler, que se obtiene al establecer x = ℼ,
$$ e^{i \pi} + 1 \;=\; 0 $$
Esta identidad es notable porque vincula cinco de los números más importantes de las matemáticas: e, i, π, 1 y 0. Aprendamos cada una de estas fórmulas en detalle.
Formulas de Euler Para el Análisis Complejo:
Euler formulas en el análisis complejo se utiliza para establecer la relación entre funciones trigonométricas y funciones exponenciales complejas. La fórmula de Euler se define para cualquier número real x y se puede escribir como:
$$ e^{ix} \;=\; cos x + i\; sen x $$
Aquí, cos y sen son funciones trigonométricas, i es la unidad imaginaria y e es la base del logaritmo natural. La interpretación de esta fórmula se puede tomar en un plano complejo, como una función compleja unitaria eiθ que traza un círculo unitario, donde θ es un número real y se mide en radianes.
Prueba:
Utilizamos la siguiente serie de expansión para ex :
$$ ex \;=\; 1 + x + \frac{x2}{2!} + \frac{x3}{3!} + \frac{x4}{4!} + ... ∞ $$
Ahora, suponemos que esta expansión es válida incluso si x es un número no real. En una prueba rigurosa, incluso esta suposición tendrá que justificarse, pero por ahora, supongamos que es cierta y utilicemos x = iθ.
$$ eiθ \;=\; 1 + iθ + \frac{(iθ)2}{2!} + \frac{(iθ)3}{3!} + \frac{(iθ)4}{4!} + ... ∞ $$
$$ =\; 1 + iθ - \frac{θ2}{2!} - \frac{iθ3}{3!} + \frac{θ4}{4!} + ... ∞ (porque\; i2 \;=\; -1) $$
$$ =\; (1 - \frac{θ2}{2!} + \frac{θ4}{4!} - ... ∞) + i (θ - \frac{θ3}{3!} + \frac{θ5}{5!} -... ∞) $$
Las dos series son series de expansión de Taylor para cosθ y senθ, por lo tanto
$$ eix \;=\; cos x + i\; sen x $$
Identidad de Euler:
De la fórmula anterior, tenemos e ix = cos x + i sen x. Esta fórmula conduce a una identidad cuando x se reemplaza por π. Entonces obtenemos,
$$ eiπ \;=\; cos\; π + isin\; π $$
$$ eiπ \;=\; -1 + i (0)\; (como\; cos\; π \;=\; -1\; y\; sen\; π \;=\; 0) $$
$$ eiπ \;=\; -1\; (o) $$
$$ eiπ + 1 \;=\; 0 $$
Esto se conoce como la identidad de Euler.
Formulas Euler para Poliedros:
Los poliedros son formas sólidas tridimensionales cuyas superficies son planas y sus aristas son rectas. Por ejemplo, cubo, ortoedro, prisma y pirámide. En cualquier poliedro que no se interseca consigo mismo, la cantidad de caras, vértices y aristas están relacionadas de una manera particular.
La fórmula de Euler para poliedros nos dice que la cantidad de vértices y caras juntas es exactamente dos más que la cantidad de aristas. La formula de euler para un poliedro se puede escribir como:
$$ F + V - E \;=\; 2 $$
Aquí,
F es la cantidad de caras,
V la cantidad de vértices y
E la cantidad de aristas.
Prueba:
Cuando dibujamos puntos y líneas únicamente, se convierte en un gráfico. Obtenemos un gráfico plano cuando ninguna línea o arista se cruza entre sí. Podemos representar un cubo como un gráfico plano proyectando los vértices y las aristas sobre un plano.
Según la teoría de grafos de la formulas de euler, la cantidad de puntos − la cantidad de líneas + la cantidad de regiones en las que se corta el plano = 2.
Solución para el Problema de los Servicios Públicos:
La formulas euler se demuestra utilizando el problema de los servicios públicos: las tres casas (H1, H2 y H3) deben conectarse a los 3 servicios públicos: gas (G), agua (W) y electricidad (E). Deben conectarse de manera que ninguna tubería pase por encima de la otra tubería.
Para obtener un ciclo completo sin intersección en ningún grafo plano, eliminamos una arista para crear un árbol. Esto reduce tanto las aristas como las caras en uno, dejando vértices − aristas + caras = una constante.
Repetimos este proceso hasta que el grafo restante sea un árbol. Finalmente, obtenemos vértices − aristas + caras = 2, es decir, la característica de Euler. Consideremos nuestro grafo de servicios públicos y apliquemos la teoría de grafos de la fórmula de Euler.
Para demostrar que no podemos representar este gráfico en la forma sin aristas que se intersequen, necesitamos usar la teoría de grafos de la Fórmula de Euler. Descubrimos que hay 6 vértices y 9 aristas. Necesitamos verificar la formula de euler y verificar la cantidad de caras.
$$ F + V - E \;=\; 2 $$
$$ F + 6 - 9 \;=\; 2 $$
$$ F \;=\; 5 $$
Si cada una de las 5 caras tuviera 4 aristas que las delimitaran, obtendríamos el gráfico que se muestra a continuación.
Observamos que necesitamos 10 aristas. Sin embargo, el problema tiene solo 9 aristas. Por esta contradicción, obtenemos la prueba de la euler formulas.
Este gráfico plano bidimensional, cuando se expande hasta convertirse en un sólido, se convierte en un octaedro. Un octaedro tiene 8 caras, 6 vértices y 12 aristas. Por lo tanto, con la ayuda de la prueba de la formula de euler, es imposible hacer las conexiones de utilidad.
$$ Caras + Vértices − Aristas \;=\; 28 + 6 − 12 \;=\; 2 $$
¿Para qué se Utiliza la Euler Formula?
F + V − E puede ser igual a 2 o 1 y tener otros valores, por lo que la fórmula más genérica es F + V − E = X, donde X es la característica de Euler.
Verificamos la formula d'euler para estudiar cualquier espacio tridimensional y no solo poliedros. La teoría de grafos de Euler demuestra que hay exactamente 5 poliedros regulares.
Podemos usar la calculadora de la fórmula de euler y verificar si existe un poliedro simple con 10 caras y 17 vértices. El prisma, que tiene un octógono como base, tiene 10 caras, pero el número de vértices es 16.
Verificación de la Fórmula de Euler para Sólidos:
Los ejemplos de la euler formula incluyen formas sólidas y poliedros complejos. Verifiquemos la fórmula para algunos poliedros simples, como una pirámide cuadrada y un prisma triangular.
Una pirámide cuadrada tiene 5 caras, 5 vértices y 8 aristas.
$$ F + V − E \;=\; 5 + 5 − 8 \;=\; 2 $$
Un prisma triangular tiene 5 caras, 6 vértices y 9 aristas.
$$ F + V − E \;=\; 5 + 6 − 9 \;=\; 2 $$
Explicación de la Formula d'Euler”:
Hay 5 sólidos platónicos para los que se puede demostrar la formulas euler. Son el cubo, el tetraedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Verifiquemos la formulas de euler en estos poliedros complejos que sirven como ejemplos de la formula euler.
F + V - E
| SOLID | F | V | E | Euler's Formula: |
|---|---|---|---|---|
| Tetrahedron | 4 | 4 | 6 | 2 |
| Cube | 6 | 8 | 12< | 2 |
| Octahedron | 8 | 6 | 12 | 2 |
| Dodecahedron | 12 | 20 | 30 | 2 |
Echemos un vistazo rápido a un par de ejemplos para entender mejor la fórmula de Euler.
Ejemplos Resueltos Utilizando la Euler Formulas:
A continuación se ofrecen algunos ejemplos resueltos de la formula de euler que le ayudarán a comprender el cálculo manual.
Ejemplo 1: Expresar ei(π/2) en la forma (a + ib) utilizando la euler formulas.
Solución:
Dado: θ = π/2
Usando la formula d'euler,
$$ eiθ \;=\; cosθ + i\; sinθ $$
$$ \rightarrow ei(π/2) \;=\; cos(\frac{π}{2}) + i\; sin(\frac{π}{2}) = 0 + i \times 1 \;=\; i $$
Respuesta: Por lo tanto, ei(π/2) en la forma a + ib es i.
Ejemplo 2: Expresar 3e5i en la forma (a + ib) utilizando la fórmula de Euler.
Solución:
Dado: θ = 5
Usando la formula de euler,
$$ eiθ \;=\; cosθ + i\; sinθ $$
$$ \rightarrow e5i \;=\; cos5 + i\; sin5 \;=\; 0,284 + i(−0,959) = 0,284 − 0,959i $$
Ahora,
$$ 3e5i \;=\; 0,852 - 2,877i $$
Respuesta: Por lo tanto, 3e5i en la forma a + ib es 3e5i = 0,852 - 2,877i.
Ejemplo 3: Jack sabe que un poliedro tiene 12 vértices y 30 aristas. ¿Cómo puede hallar la cantidad de caras?
Solución:
Usando la fórmula de Euler:
$$ F + V − E \;=\; 2 $$
$$ F + 12 − 30 \;=\; 2 $$
$$ F − 18 \;=\; 2 $$
$$ F \;=\; 20 $$
Respuesta: Número de caras = 20.
Ejemplo 4: Lucía encuentra un prisma pentagonal en el laboratorio. ¿Cuál crees que es el valor de F + V − E para este prisma?
Solución:
Un prisma pentagonal tiene 7 caras, 15 aristas y 10 vértices.
Apliquemos aquí la fórmula de Euler:
$$ F + V − E \;=\; 7 + 10 − 15 \;=\; 2 $$
Respuesta: F + V − E para un prisma pentagonal = 2.
Conclusión:
Las formula de euler son fórmulas poderosas que revelan las complejas conexiones entre las diferentes áreas de las matemáticas. Desde la famosa formula euler y la identidad hasta las fórmulas poliédricas e integrales, el trabajo de Euler continúa inspirando e informando la investigación y las aplicaciones matemáticas modernas.
Al comprender y aplicar estas fórmulas correctamente, uno puede resolver problemas complejos de manera más eficiente. Ya sea en estudios teóricos o aplicaciones prácticas, las contribuciones de Euler siguen siendo indispensables, mostrando el legado perdurable de uno de los matemáticos más grandes de la historia.
