Derivadas Formulas:
Una derivada nos ayuda a conocer la relación cambiante entre dos variables. Proporciona una forma de medir cómo cambia una función a medida que cambia su entrada.
Consideremos la variable independiente 'x' y la variable dependiente 'y'. El cambio en el valor de la variable dependiente con respecto al cambio en el valor de la expresión de la variable independiente se puede encontrar utilizando la formulas de derivacion.
Matemáticamente, la derivadas formulas es útil para calcular la derivada, para encontrar la pendiente de una curva y para encontrar el cambio en una medición con respecto a otra medición. En esta sección, aprenderemos más sobre la fórmula con algunos ejemplos resueltos.
¿Qué es una Derivadas Formulas?
La formula de derivación es uno de los conceptos básicos utilizados en cálculo y el proceso de encontrar una derivada se conoce como diferenciación. La derivada de una función en un punto específico se define como el límite de la tasa de cambio promedio de la función a medida que el intervalo se acerca a cero.
La derivadas con formulas se define para una variable 'x' que tiene un exponente 'n'. El exponente 'n' puede ser un número entero o una fracción racional. Por lo tanto, la fórmula para calcular la derivada es:
$$ \frac{d}{dx} . x_n \;=\; n . x^{n-1} $$
Reglas de la Formulas de Derivacion:
Existen algunas Fórmulas derivadas básicas, es decir, un conjunto de fórmulas que se utilizan en diferentes niveles y aspectos. Las reglas se dan a continuación:
Regla de la constante:
$$ \frac{d}{dx}(c) \;=\; 0 $$
Regla del múltiplo constante:
$$ \frac{d}{dx} [cf(x)] \;=\; cf’(x) $$
Regla de la potencia:
$$ \frac{d}{dx}(x^n) \;=\; nx^{n-1} $$
Regla de la suma:
$$ \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] \;=\; f’(x) + g’(x) $$
Regla de la diferencia:
$$ \frac{d}{dx} [f(x) \;=\; g(x)] \;=\; f’(x) - g’(x) $$
Regla del producto:
$$ \frac{d}{dx} [f(x)g(x)] \;=\; f(x)g’(x) + g(x)f’(x) $$
Regla del cociente:
$$ \frac{d}{dx} \biggr[\frac{f(x)}{g(x)} \;=\; \frac{g(x)f’(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2} $$
Regla de la cadena:
$$ \frac{d}{dx} f[g(x)] \;=\; f’[g(x)]g’(x) $$
Derivación de la Derivates formulas:
Sea f(x) una función cuyo dominio contiene un intervalo abierto en un punto. Entonces se dice que la función f(x) es diferenciable en el punto x0, y la derivada de f(x) en x0 se representa mediante la fórmula:
$$ f'(x) \;=\; \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
$$ ⇒ f'(x) \;=\; \lim_{\Delta x \to 0} [f((x)_0 + \Delta x) − \frac{f((x)0)]}{\Delta x} $$
La derivada de la función y = f(x) se puede denotar como f′(x) o y′(x). Además, la notación de Leibniz es popular para escribir la derivada de la función.
$$ y \;=\; f(x) \;as\; \frac{df(x)}{dx} \;i.e.\; \frac{dy}{dx} $$
Lista de Derivadas Formulas:
A continuación se enumeran algunas de las fórmula de derivación más importantes que se utilizan en diferentes campos de las matemáticas, como el cálculo, la trigonometría, etc. La diferenciación de funciones trigonométricas utiliza diferentes derivadas con formulas que se enumeran aquí. Todas las formulas de derivacion se derivan de la diferenciación del primer principio.
Funciones Elementales:
Las derivadas formulas basicas de funciones elementales son conceptos fundamentales del cálculo que nos permiten determinar la velocidad a la que cambian las funciones.
Estas fórmulas proporcionan una forma sistemática de encontrar la derivada, o la pendiente de la línea tangente, de funciones básicas. A continuación, se presentan algunas derivates formulas clave para funciones elementales:
$$ \frac{d}{dx} . x^n \;=\; n. x^{n-1} $$
$$ \frac{d}{dx} . k \;=\; 0, $$
$$ \frac{d}{dx} . e^x \;=\; e^x $$
$$ \frac{d}{dx} . a^x \;=\; a^x . log_e . a $$
Where a > 0, a ≠ 1
$$ \frac{d}{dx} . logx \;=\; \frac{1}{x}, \; \; x > 0 $$
$$ \frac{d}{dx} . log_a e \;=\; \frac{1}{x} log_a e $$
$$ \frac{d}{dx} . \sqrt{x} \;=\; \frac{1}{(2\sqrt{x})} $$
Derivadas con Formulas de Funciones Trigonométricas:
Las derivadas formulas de funciones trigonométricas son fundamentales en el cálculo para determinar la tasa de cambio de las funciones seno, coseno y tangente. Estas fórmulas son fundamentales para resolver problemas que involucran movimiento periódico y formas de onda. Las fórmulas clave son:
$$ \frac{d}{dx} . sin\; x \;=\; cos\; x $$
$$ \frac{d}{dx} . cos x \;=\; - sin\; x $$
$$ \frac{d}{dx} . tan\;x \;=\; sec^2 x,\; \; x ≠ (2n + 1) \frac{\pi}{2}, n ∈ I $$
$$ \frac{d}{dx} . cot\; x \;=\; -cosec^2 x, x ≠ nπ, n ∈ I $$
$$ \frac{d}{dx} . sec x \;=\; sec\; x \; tan\; x,\; \; x ≠ (2n + 1) \frac{\pi}{2}, n ∈ I $$
$$ \frac{d}{dx} . cosec\; x \;=\; -cosec\; x \; cot\; x, x ≠ nπ, n ∈ I $$
Fórmulas Derivadas de Funciones Hiperbólicas:
Las formula de funciones hiperbólicas ayudan a analizar las funciones seno, coseno y tangente hiperbólicas.
Estas fórmulas son útiles en varios campos, incluida la física y la ingeniería, particularmente en el estudio de la geometría hiperbólica y la relatividad. Las fórmulas clave incluyen:
$$ \frac{d}{dx} . sinhx \;=\; coshx $$
$$ \frac{d}{dx} . coshx \;=\; sin\; hx $$
$$ \frac{d}{dx} . tan\; hx \;=\; sec\; h^2 x $$
$$ \frac{d}{dx} . cot\; hx \;=\; - cosec\; h^2 x $$
$$ \frac{d}{dx} . sec\; hx \;=\; -sech\;hx\;tan\;hx $$
$$ \frac{d}{dx} . cosec\;hx \;=\; -cosec\;hx\; cot\;hx $$
Diferenciación de Funciones Trigonométricas Inversas:
La diferenciación de funciones trigonométricas inversas implica hallar las derivadas del arcoseno, el arcocoseno y el arcotangente. Las fórmulas clave son:
$$ \frac{d}{dx} . sin^{-1} x \;=\; \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}, -1 < x< 1 $$
$$ \frac{d}{dx} . cos^{-1}x \;=\; -\frac{1}{\sqrt{(1 - x^2)}}, -1< x< 1 $$
$$ \frac{d}{dx} . tan^{-1} x \;=\; \frac{1}{(1 + x^2)} $$
$$ \frac{d}{dx} . cos^{-1} x \;=\; -\frac{1}{(1 + x^2)} $$
$$ \frac{d}{dx} . ocsec^{-1} x \;=\; -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}, |x| > 1 $$
Estas derivadas son cruciales para resolver problemas de cálculo que involucran relaciones trigonométricas inversas.
Diferenciación de Funciones Hiperbólicas Inversas:
La diferenciación de funciones hiperbólicas inversas implica hallar las derivadas de funciones como arsinh(x), arcosh(x) y artanh(x).
Estas derivadas son esenciales en diversas aplicaciones, incluido el análisis matemático y la física teórica. Las fórmulas clave son:
$$ \frac{d}{dx} . sinh^{-1} x \;=\; \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 1)}} $$
$$ \frac{d}{dx} . cosh^{-1} x \;=\; -\frac{1}{\sqrt{(x^2 - 1)}} $$
$$ \frac{d}{dx} . tanh^{-1} x \;=\; \frac{1}{(1 - x^2)} $$
$$ \frac{d}{dx} . coth^{-1} x \;=\; -\frac{1}{x(1 - x^2)} $$
$$ \frac{d}{dx} . cosech^{-1} x \;=\; -\frac{1}{x\sqrt{1 + x^2}} $$
Derivadas con Formulas de Funciones Trigonométricas:
A continuación se muestra un ejemplo para mostrarle cómo utilizar la formula de derivación:
Ejemplo 1: Halle la derivada de x7 utilizando la derivadas formulas.
Solución:
Usando la formulas de derivacion,
Therefore, d/dx. x^7=7x6
Ejemplo 2: Derivar 1/√x usando la Fórmula de la derivada.
Solución:
La derivada de 1/√x se puede hallar usando la fórmula
Ejemplo 3: ¿Cuál es el valor de d/dx = Cos2 x? Hallarlo mediante la Fórmula de la derivada.
Solución:
Let us assume t = Cosx, then dy/dx = t2
dt/dx = -sin x
Usando la fórmula de derivación, tenemos
Therefore, d/dx = Cos2 x is = -sin 2x
Conclusión
Entender y aplicar la derivadas formulas basicas es fundamental en el cálculo. Estas fórmulas proporcionan una forma sistemática de calcular la tasa de cambio de funciones, lo cual es esencial para analizar y resolver problemas del mundo real.
Si se dominan las reglas básicas, se puede utilizar eficazmente la Fórmula de la derivada en diversos campos, desde la física hasta la economía y más allá.
