Derivada Parcial Formula:
La derivada parcial formula es fundamental en el cálculo multivariable y se utiliza para medir cómo cambia una función a medida que cambian sus variables de entrada.
Amplía el concepto de derivada del cálculo de una sola variable a las funciones de múltiples variables. La derivada parcial de una función con respecto a una variable se obtiene derivando la función mientras se tratan todas las demás variables como constantes.
¿Qué es la Derivada Parcial?
La derivada parcial de una función multivariable, digamos z = f(x, y), es su derivada con respecto a una de las variables, x o y en este caso, donde las otras variables se tratan como constantes. Por ejemplo,
Para hallar la derivada parcial de f(x, y) con respecto a x (que se representa por ∂f / ∂x), y se trata como constante y para hallar la derivada parcial de f(x, y) con respecto a y (que se representa por ∂f / ∂y), x se trata como constante
Tenga en cuenta que no estamos considerando todas las variables como variables mientras hacemos la diferenciación parcial (en cambio, estamos considerando solo una variable como variable a la vez). Podemos hallar las derivadas parciales utilizando las siguientesformula de derivadas parciales:
$$ \frac{\partial f}{\partial x} \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{[f(x + h, y) - f(x, y)]}{h} $$
$$ \frac{\partial f}{\partial y} \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{[f(x, y + h) - f(x, y)]}{h} $$
Estas derivada parcial formula se asemejan a la definición de derivada utilizando el primer principio.
Ejemplo de Derivada Parcial
Si f (x, y) = xy, entonces halla la derivada parcial ∂f / ∂x.
Solución:
$$ \frac{\partial f}{\partial x} \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{[f(x + h, y) - f(x, y)]}{h} $$
$$ =\; \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)y - xy}{h} $$
$$ =\; \lim_{h \to 0} \frac{xy + hy - xy}{h} $$
$$ =\; \lim_{h \to 0} \frac{hy}{h} $$
$$ =\; \lim_{h \to 0} y $$
Por lo tanto,
$$ \frac{\partial f}{\partial x} \;=\; y $$
Símbolo de Derivada Parcial
Sabemos que la derivada ordinaria de una función y = f(x) se denota con una de las notaciones dy/dx, d/dx (y), d/dx (f(x)), f '(x), etc. Para representar una derivada parcial usamos el símbolo "∂" en lugar de "d". Pronunciamos "∂" como "doh" pero tiene otros nombres como "partial", "del", "partial dee", "dee", "delta de Jacobi", etc. Si z = f(x, y) es una función en dos variables entonces
∂f / ∂x es la derivada parcial de f con respecto a x
∂f / ∂y es la derivada parcial de f con respecto a y
Así como tenemos diferentes símbolos de derivadas ordinarias, también tenemos diferentes notaciones para derivadas parciales. Por ejemplo, ∂f / ∂x se puede escribir como fx, fx', Dxf, ∂ / ∂x (f), ∂x f, ∂ / ∂x [f(x, y)], ∂z / ∂x, etc.
Calcular Derivadas Parciales
Ya hemos visto que las formula derivadas parciales se utilizan para encontrar las derivadas parciales. Sin embargo, utilizar la formula de derivadas parciales y calcular las derivadas parciales no siempre es fácil.
Por lo tanto, tenemos otro método para calcular derivadas parciales que se desprende directamente de su definición. En este método, si z = f(x, y) es la función, entonces podemos calcular las derivadas parciales siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1: Identificar la variable con respecto a la cual tenemos que encontrar la derivada parcial.
Paso 2: A excepción de la variable encontrada en el Paso 1, tratar todas las demás variables como constantes.
Paso 3: Derivar la función simplemente usando las reglas de la diferenciación ordinaria.
¡Espera! Lee el Paso 3 nuevamente. Sí, las reglas de la diferenciación ordinaria son las mismas que las de la diferenciación parcial. En la diferenciación parcial, simplemente tratar las variables es diferente, ¡eso es todo!
Ejemplo: Resolvamos el mismo ejemplo anterior (si f (x, y) = xy usando la fórmula de derivada parcial, entonces encontremos la derivada parcial ∂f / ∂x) usando los pasos anteriores.
Solución:
Tenemos que encontrar ∂f / ∂x. Significa que tenemos que encontrar la derivada parcial de f con respecto a x. Por lo tanto, tratamos a y como constante. Por lo tanto, podemos escribir 'y' fuera de la derivada (como en la diferenciación ordinaria, tenemos una regla que dice d/dx (c y) = c dy/dx, donde 'c' es una constante). Por lo tanto,
$$ \frac{\partial f}{\partial x} \;=\; \frac{\partial }{\partial x} (xy) $$
$$ =\; y \frac{ \partial }{\partial x}(x) $$
$$ =\; y (1) $$
$$ =\; y $$
Obtuvimos la misma respuesta que obtuvimos usando la definición del límite.
Fórmulas de Diferenciación Parcial
El proceso de hallar derivadas parciales se conoce como diferenciación parcial. Para hallar las derivadas parciales de primer orden (como se explicó anteriormente) de una función z = f(x, y), utilizamos las siguientes derivadas parciales:
$$ \frac{\partial f}{\partial x} \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{[f(x + h,y) - f(x, y)]}{h} $$
$$ \frac{\partial f}{\partial y} \;=\; \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} $$
Pero en lugar de utilizar estas formulas de derivadas parciales, tratar todas las demás variables distintas de la variable con respecto a la cual estamos diferenciando parcialmente como constantes haría que el proceso de diferenciación parcial sea muy fácil.
En este proceso, simplemente utilizamos las mismas reglas que en la diferenciación ordinaria y, entre ellas, las reglas importantes son las siguientes:
Regla de Potencia
La regla de potencia de la diferenciación dice que d/dx (xn) = n xn-1. La misma regla también se puede aplicar en la derivadas parciales formulas.
Ejemplo:
$$ \frac{\partial }{\partial x} (x^2 y) \;=\; y \frac{\partial}{\partial x} (x^2y) \;=\; y \frac{\partial }{\partial x} x^2 \;=\; y (2x) \;=\; 2xy $$
Regla del Producto
La regla del producto de la diferenciación ordinaria dice d/dx (uv) = u dv/dx + v du/dx. Podemos aplicar la misma regla en la fórmula de diferenciación parcial también cuando hay dos funciones de la misma variable.
Ejemplo:
$$ \frac{\partial}{\partial x} (xy\; sin\; x) \;=\; y \frac{\partial}{\partial x} (x\; sin\; x) $$
$$ =\; y \frac{x \partial}{\partial x} (sin x) + sen\; x \frac{\partial}{\partial x} (x) $$
$$ =\; y [ x\;cos\; x + sin\; x ] $$
Regla del Cociente
La regla del cociente de la diferenciación ordinaria dice d/dx (u/v) = [ v du/dx - u dv/dx ] / v2. Al igual que otras reglas, esta regla también se puede aplicar en la derivada parcial formula
Ejemplo:
$$ \frac{\partial }{\partial x} (\frac{xy}{sin\; x} $$
$$ =\; y \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{sin\; x} $$
$$ =\; sen x \frac{\partial}{\partial x} (x) - x \frac{\partial}{\partial x} \frac{(sin\; x)}{sin^2x} $$
$$ =\; \frac{sin\; x - x\; cos\; x}{sin^2 x} $$
Regla de la Cadena de las Derivadas Parciales Formula
La regla de la cadena se utiliza cuando tenemos que derivar una función implícita. La regla de la cadena de las derivadas parciales funciona un poco diferente en comparación con las derivadas ordinarias. A veces, la regla involucra tanto derivadas parciales como derivadas ordinarias.
Hay varias formas de esta regla y la aplicación de una de ellas depende de cómo se defina cada variable de la función.
Si y = f(x) es una función donde x es nuevamente una función de dos variables u y v (es decir, x = x (u, v)) entonces,
$$ \frac{\partial f}{\partial u} \;=\; \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial u} $$
$$ \frac{\partial f}{\partial v} \;=\; \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial v} $$
Si z = f(x, y), donde cada uno de x e y son nuevamente funciones de una variable t (es decir, x = x(t) e y = y(t)) entonces
$$ \frac{df}{dt} \;=\; (\frac{\partial f}{\partial x} . \frac{dx}{dt}) + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial y} . \frac{dy}{dt} $$
Si z = f(x, y) es una función y cada una de x e y son nuevamente funciones de dos variables u y v (es decir, x = x(u, v) e y = y(u, v)) entonces
$$ \frac{\partial f}{\partial u} \;=\; \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial u} $$
$$ \frac{\partial f}{\partial v} \;=\; \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial v} $$
Ejemplo: Si z = exy, donde x = uv e y = u + v entonces halla la derivada parcial ∂f/∂u.
Solución:
Por la regla de la cadena de derivadas parciales:
$$ \frac{\partial f}{\partial u} \;=\; \frac{\partial f}{\partial x} . \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} . \frac{\partial y}{\partial u} $$
$$ =\; \frac{\partial}{\partial x} (exy) . \frac{\partial }{\partial u} (uv) + \frac{\partial f}{\partial y} (exy) . \frac{\partial}{\partial u} (u + v) $$
$$ =\;(exy . y)(v) + (exy . x)(1) $$
$$ =\; exy (x + vy) $$
Otras Reglas de la Formula Derivadas Parciales:
Si f(x, y) = una constante, entonces la siguiente derivadas parciales formula da la relación entre la derivada ordinaria y las derivadas parciales que se desprende de la diferenciación implícita.
$$ \frac{dy}{dx} \;=\; \frac{-fx}{fy} $$
Para dos funciones cualesquiera u(x, y) y v(x, y), el determinante,
$$ \biggr| \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{matrix} \biggr| $$
se conoce como jacobiano de u y v.
La ecuación de Laplace de derivadas parciales es ∂2f / ∂x2 + ∂2f / ∂y2 + ∂2f / ∂z2 = 0 donde f(x, y, z) es una función de tres variables. Cualquier función f que satisface la ecuación de Laplace se conoce como función armónica.
Notas Importantes Sobre la Derivadas Parciales Formulas
Al calcular la derivada parcial con respecto a una variable, todas las demás variables deben considerarse constantes.
El orden de obtención de las derivadas no importa en las derivada parcial formula, es decir, ∂2f / ∂x ∂y = ∂2f / ∂y ∂x.
Las reglas de las derivadas también se aplican a la diferenciación parcial.
En lugar de utilizar la definición de límite, la aplicación de las fórmulas de derivadas parciales facilita el proceso de cálculo de las derivadas parciales.
